“把78穿13里面”这道题的关键，是把两个数分别写成13的倍数，再利用最大公约数和最小公倍数的关系。按正整数理解，符合条件的两组数是13和78、26和39；如果把先后顺序也算作不同答案，则共有四种排列：13与78、78与13、26与39、39与26。
先把两个数写成13的倍数
设这两个正整数为甲、乙。它们的最大公约数是13，因此可以写成：
甲＝13×m，乙＝13×n
其中，m和n必须互质，也就是它们的最大公约数为1。否则，如果m和n还共同含有大于1的因数，那么甲和乙除了13之外还会有共同因数，最大公约数就不可能恰好是13。
用最小公倍数求出m和n
当m、n互质时，13m和13n的最小公倍数是13mn。题目给出的最小公倍数为78，所以：
13×m×n＝78
两边同时除以13，得到：
m×n＝78÷13＝6
现在问题就变成：找出乘积为6、并且两个因数互质的正整数。6的因数配对只有1×6和2×3；调换位置后是6×1和3×2。这四种排列中的两个因数都互质，因此全部符合条件。
| m、n的取值 | 对应的两个数 | 是否符合条件 |
|---|---|---|
| 1、6 | 13×1＝13，13×6＝78 | 符合 |
| 6、1 | 13×6＝78，13×1＝13 | 符合，顺序相反 |
| 2、3 | 13×2＝26，13×3＝39 | 符合 |
| 3、2 | 13×3＝39，13×2＝26 | 符合，顺序相反 |
逐组验算
第一组：13和78。13能整除78，因此两数的最大公约数是13，最小公倍数是78。
第二组：26和39。26＝2×13，39＝3×13。由于2和3互质，两数共同的最大因数是13；它们的最小公倍数为2×3×13＝78。
所以，不论题目把两个数按什么顺序排列，答案都只有这两组：13、78和26、39。
为什么不能只看两数的乘积
两个正整数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。本题中，两数乘积为13×78＝1014。但仅知道乘积是1014，还不能直接确定这两个数；还需要同时满足最大公约数为13、最小公倍数为78。上面先提出公约数13，再将问题化为m×n＝6并检查m、n互质，才能把所有符合条件的组合找全。
解题时也容易把78÷13＝6误当成两个原数中的另一个数。6实际上是除去公约数13后，两个商的乘积，也就是m和n的乘积；要分别拆成互质的因数对，再各自乘回13，才能得到13与78、26与39这两组数。